Los niveles de Landau y los ceros de Riemann

Hace 150 años Bernhard Riemann publicó una famosa memoria de 8 páginas titulada “Sobre el número de primos menores que una magnitud dada”, donde sugería que era “muy probable” que los ceros complejos de la función zeta tuvieran todos parte real igual a ½. Dicha sugerencia pasó a llamarse con el tiempo la hipótesis de Riemann (HR), convirtiéndose en uno de los problemas centrales de la Teoría de Números y por extensión de las Matemáticas Puras. La importancia de la HR estriba en que la verdad de la misma implica la mejor cota posible a las fluctuaciones de los números primos respecto a su ley de distribución promedio dada por el Teorema de los Números Primos. Otra razón de la importancia de la HR es que esa conjetura se extiende a un amplio zoo de funciones zeta asociadas a caracteres de Dirichlet, curvas elípticas, etc.

A lo largo del siglo XX ha habido varios intentos de demostración de la HR a cargo de matemáticos de primera línea como Hardy, Littlewood, Stieltjes, Turing, Weil, Connes, etc, que han permitido profundizar en el conocimiento de la Teoría de Números pero que no han logrado el objetivo final. Una de las vías de demostración más sugerentes fue propuesta por Polya y Hilbert en torno a 1910, según la cual la parte imaginaria de los ceros de Riemann serían frecuencias de oscilación de un sistema físico. Empleando el lenguaje de la Mecánica Cuántica,  dicha sugerencia se replantea en términos de la existencia de un operador autoadjunto, cuyo espectro discreto contuviera la parte imaginaria de todos los ceros de Riemann. Dicho operador, sería un Hamiltoniano actuando sobre un espacio de Hilbert de estados físicos, siendo los ceros de Riemann sus niveles de energía y por tanto observables. La interpretación espectral de la HR se apoya en diversos resultados “fenomenológicos”,  entre los que destaca el hecho de que los ceros de Riemann satisfacen de manera local la distribución aleatoria correspondiente a los autovalores de matrices aleatorias gaussianas del conjunto unitario (estadística GUE). Este resultado fue descubierto por Montgomery en los años 70 y comprobado numéricamente por Odlyzco en los 80.  Utilizando estos trabajos, Berry y colaboradores sugirieron que la Teoría del Caos Cuántico podría ser la clave de la solución. Partiendo de analogías entre fórmulas de la Teoría de Números y del Caos Cuántico, conjeturaron la existencia de un Hamiltoniano clásico caótico cuyas órbitas periódicas estuvieran en correspondencia con los números primos y cuya cuantización generaría los ceros de Riemann en el espectro. Dicho Hamiltoniano rompería la invariancia bajo inversion temporal para estar de acuerdo con la estadística GUE.

En 1999, Berry y Keating por un lado y Connes por otro, propusieron un modelo heurístico semiclásico  que contiene la aproximación media a los ceros de Riemann. Dicho modelo describe  una partícula moviéndose en una dimensión, cuyo Hamiltoniano clásico es H = xp, donde x es la posición y p es el momento. El trabajo de estos autores  difiere sin embargo en la manera en que aparecen los ceros de Riemann. En el modelo de Berry y Keating los ceros aparecen en el espectro discreto, mientras que en el de Connes el espectro es un continuo, siendo los ceros de Riemann líneas espectrales de absorción. La diferencia entre estos dos resultados opuestos se halla en la diferente elección del espacio de fases semiclásico.

En un reciente trabajo publicado en la Revista Physical Review Letters, y titulado “Landau levels and Riemann zeros” se propone una realización física del modelo de Berry-Keating y Connes empleando una partícula cargada, por ejemplo un electrón, moviéndose en un plano bajo la acción de un campo magnético perpendicular al mismo y un campo eléctrico en forma de silla. El campo magnético hace que los electrones giren en órbitas ciclotrónicas, cuyo centro describe trayectorias hiperbólicas por el efecto del campo eléctrico. Cuando el electrón se coloca en una caja finita y en el nivel de Landau de más baja energía, se obtiene un espectro continuo corregido por la parte promedio de los ceros de Riemann, lo cual está de acuerdo con el resultado semiclásico de Connes. Existen razones para pensar que la inclusión de niveles de Landau de más alta energía podrá dar una realización espectral de los ceros de Riemann, y no sólo de su aproximación promedio. Por otra parte, no hay que descartar que la versión de Berry y Keating sea realizable en el contexto del modelo de Landau. El sistema físico propuesto es de uso corriente en el estudio teórico y experimental del Efecto Hall Cuántico,  por lo que de ser cierta la conjetura de este trabajo se abriría la posibilidad de una observación experimental de los ceros de Riemann. Por otra parte la consistencia matemática del modelo posiblemente llevaría a la demostración de la HR, aunque aún es pronto para saber si esto es así.

En todo caso,  este trabajo puede servir de estímulo en la investigación sobre los aspectos matemáticos y físicos de la HR, que es sin duda uno de los retos científicos del siglo XXI.

Germán Sierra
Instituto de Física Teórica CSIC-UAM
Madrid

Publicado por Instituto de Ciencias Matemáticas el 16 febrero, 2009

 

Imágenes:
Bernhard Riemann
Función zeta de Riemann de David Martín de Diego